Ejemplos de Distribución de probabilidad para variables continuas

1. Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo, y  marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca  y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.

Solución:

Haciendo uso de un diagrama de árbol, usando las literales siguientes, se obtiene el espacio muestral d como se muestra a continuación;

      N = no sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso

S =  sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso

N

                                   N

                                               S

                        N

                                               N                               

                                   S

                                              

                                               S

                                              

                                               N

                                  

1^er auto                       N        

                                               S

                        S         

                                         N

                  2^o auto            S         

                            

                                3^o      S

d = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}

x = variable que nos define el número de autos que no sufre de algún desperfecto en el motor durante los primeros 12 meses de uso

x = 0, 1, 2 o 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

p(x=0)=p(SSS)=(0.02)(0.02)(0.02)=0.000008

p(x=1)=p(NSS, SNS, SSN)=(0.98)(0.02)(0.02)+(0.02)(0.98)(0.02)+(0.02)(0.02)(0.98)=

=0.001176

p(x=2)=p(NNS,NSN,SNN)=(0.98)(0.98)(0.02)+(0.98)(0.02)(0.98)+(0.02)(0.98)(0.98)==0.057624

      p(NNN) = (0.98)(0.98)(0.98) =0.941192

Por tanto  la media o valor esperado se determina de la siguiente manera:

m =E(x) = (0)(0.000008)+(1)(0.001176)+(2)(0.057624)+(3)(0.941192)=

=0.0+0.001176+0.115248+2.823576=2.94@ 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

La interpretación de la media o valor esperado es; se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso.

                 s== 

               =±0.2497@±0.0 autos que no sufren algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso.

Interpretación:

En este experimento se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso y la variabilidad de este experimento es de cero.

Nota:

 La media y la desviación estándar se redondean a un valor entero ya que son la media y desviación de una distribución de probabilidad discreta.

2. Se ha detectado en una línea de producción que 1 de cada 10 artículos fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres artículos uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento, b) encuentre el número esperado de artículos defectuosos en esa muestra y su desviación estándar.

Solución:

También haciendo uso de in diagrama de árbol, se obtiene el espacio muestral d

a)

D = objeto defectuoso

N = objeto no defectuoso

d={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

Este espacio muestral ha sido obtenido haciendo uso de un diagrama de árbol,

x = Variable que nos define el número de objetos defectuosos encontrados

x = 0, 1, 2 o 3 objetos defectuosos

p(x=0)=p(NNN)=(0.9)(0.9(0.9)=0.729

p(x=1)=p(DNN, NDN, NND)=(0.1)(0.9)(0.9)+(0.9)(0.1)(0.9)+(0.9)(0.9)(0.1)=0.243

p(x=2)=p(DDN, DND, NDD)=(0.1)(0.1)(0.9)+(0.1)(0.9)(0.1)+(0.9)(0.1)(0.1)=0.027

p(x=3)=p(DDD)=(0.1)(0.1)(0.1)=0.001

Distribución de probabilidad

x	0	1	2	3
P(x)	0.729	0.243	0.027	0.001

b) (0)(0.729)+(1)(0.243)+(2)(0.027)+(3)(0.001)=

    = 0.0 + 0.243 + 0.054 + 0.003 = 0.3 @0 productos defectuosos

Interpretación:

 Se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso.

                  

=± 0.6 =± 1 producto defectuoso

Interpretación:

En este experimento se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso, pero los resultados de este experimento pueden variar en ± 1 producto defectuoso, por lo que al inspeccionar los 3 productos el numero de productos defectuosos puede variar desde –1 producto defectuoso, hasta 1 producto defectuoso, pero, ¿es posible obtener –1 producto defectuoso?, claro que esto no puede ocurrir, luego el número de productos defectuosos en el experimento variará de 0 a 1 producto defectuoso solamente.

3. Según estadísticas, la probabilidad de que un pozo petrolero que se perfore en cierta región pueda ser beneficiado es de 0.30. Se perforan tres pozos en esa región, encuentre el número esperado de pozos que pueden ser beneficiados y su desviación estándar.

Solución:

Se obtiene el espacio muestral d, de la misma forma que se ha hecho en los ejemplos anteriores;

B = se puede el pozo que se perfora

N = no se puede beneficiar el pozo que se perfora

d= {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN}

x = variable que nos define el número de pozos que se pueden beneficiar

x = 0, 1, 2 o 3 pozos que se pueden beneficiar

p’(x = 0) = p(NNN) = (0.7)(0.7)(0.7)= 0.343

p(x = 1) = p(BNN, NBN, NNB) = (0.3)(0.7)(0.7)(3)=0.441

p(x = 2) = p(BBN, BNB, NBB) = (0.3)(0.3)(0.7)(3)=0.189

p(x = 3) = p(BBB) =(0.3)(0.3)(0.3)= 0.027

@1 pozo beneficiado

Interpretación:

Se espera que solo 1 de los tres pozos perforados sea el que pueda ser beneficiado.