La distribución normal

La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).  Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss".  La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por  y .  Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

Ecuación 1:

que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos (Figura 2). Así, se dice que una característica  sigue una distribución normal de media  y varianza , y se denota como , si su función de densidad viene dada por la Ecuación 1.

Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y como se muestra en la Figura 2, en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la probabilidad de que la variable de interés, X, tome un valor cualquiera en ese intervalo.  Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de éste.

Propiedades de la distribución normal:

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.
2. La curva normal es asintótica al eje de abscisas.  Por ello, cualquier valor entre  y  es teóricamente posible.  El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.
3. Es simétrica con respecto a su media .  Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.
4. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ().  Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva de la densidad.
5. El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95.  En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo .
6. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros  y  (Figura 3).  La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de  la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal.  Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva.  Cuanto mayor sea el valor de  , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.  Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.  De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1.  Así, la expresión que define su densidad se puede obtener de la Ecuación 1, resultando:

Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución , se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación:

Ecuación 2:

Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribución  existen tablas publicadas (Tabla 1) a partir de las que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal.

Figura 2. Gráfica de una distribución normal y significado del área bajo la curva.

Figura 2. Gráfica de una distribución normal y significado del área bajo la curva.

Figura 3. Ejemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros.

Tabla 1.  Áreas bajo la curva normal estándar.  Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z.  La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla.