Problemas resueltos de Combinaciones

1. Con parte de su primer salario un chavo decide comprar 3 de los siete discos compactos que le faltan del grupo el tri. ¿Cuántas posibilidades tiene?

Hay que elegir 3 objetos (sin importar el orden) de un conjunto de siete. Hay entonces

Combinaciones de tres discos compactos.

2.-En un examen de Historia se requiere contestar cuatro de doce preguntas. ¿Cuántas maneras diferentes hay de contestar este examen?


Se requiere ahora escoger cuatro objetos de un conjunto de doce. Observemos que se nuevo el orden en que se escogen las ocho preguntas resulta irrelevante, puesto que, por ejemplo , da lo mismo seleccionar las preguntas 4,5,8 y 11 que las preguntas 11,4,5 y 8. El estudiante puede responder este examen de 

 La tienda de regalos de un centro turístico tiene quince postales distintas ¿De cuantas maneras puede seleccionar una persona cuatro de estas postales como recuerdo?

N=15   r=4

15C₄ = 15!/ 4! (15-4)! = 1365

Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para su pizza ¿De cuántas maneras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza?

N= 10   r= 3

10C₃ =10!/ 4! (10-4)!=120

Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cuatro de los diez best-sellers actuales ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal selección?

N= 10   r= 4

10C ₄=10!/ 4! (10-4)!=210

Una prueba de “verdadero-falso” comprende doce preguntas. Calcule los números de maneras en que un estudiante puede marcar cada pregunta ya sea como verdadero o falso y obtener.

a)      Ocho aciertos y cuatro errores.

b)      Diez aciertos y dos errores.

a.- n=12    r=8

12C₈ = 12!/8! (12-8)! =495

b.- n=12   r=10

12C₁₀ =12! /10! (12-10)!=66

Un estudiante de bachillerato que elabora un informe de Grecia antigua  ha encontrado quince libros sobre la materia en la librería de la escuela. Las reglas de la biblioteca le permiten sustraer sólo cinco libros a la vez. Encuentre el número de maneras en que el estudiante puede seleccionar cinco libros.

N=15   r=5

15C₅ = 15!/ 5!(15-5)!=3003

Una rejilla de doce huevos contiene un huevo roto ¿De cuántas maneras una persona puede seleccionar tres de estos huevos y

a) sacar el huevo roto;   N=12    r=3

11C₂ . 1C₁ = 55. 1= 55

b) no sacar el huevo roto N=11   r=3

11C₃ = 11!/ 3!(11-3)! =165

Un paquete de diez baterías tiene dos piezas defectuosas ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres de estas baterías y sacar

a)      Ninguna de las baterías defectuosas   N=8   r=3

8C₃ =8!/3!(8-3)!=56

b)      Una de las baterías defectuosas   N=10   r=3

8C₂ . 2C₁ =(28)(2)=56

c)       Las dos baterías defectuosas   N=10    r=3

8C₁ .2C₂ = (8)(1)=8

Entre los ocho candidatos para dos vacantes del personal de una escuela se encuentran cuatro hombres y cuatro mujeres ¿De cuántas formas se pueden cubrir estas vacantes

a)      Con dos candidatos cualesquiera de los ocho;     N=8    r=2

8C₂ =8!/2!(8-2)!=28

b)      Con dos candidatas cualesquiera de las mujeres calificadas;   N=4    r=2

4C₂ =4!/2!(8-2)!=6

c)       Con dos candidatos cualesquiera de los hombres calificados;   N=4    r=2

4C₂ =4!/2!(8-2)!=6

d)      Con uno de los candidatos y una de las candidatas?    N=8    r=2

4C₁ . 4C₁ = (4)(4)=16

Una tienda de ropa para hombre ofrece ocho clases de suéteres, seis clases de pantalones y diez clases de camisas ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar dos prendas de cada clase para una venta especial?

N=8, 6, 10   r=2

(8)(6)(10)C₂ = (28)(15)(45)=18 900

Susana es una de siete oficinistas de una empresa pequeña. Se seleccionarán a tres de estos trabajadores para formar parte de un comité

a)      ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a tres de estas personas para formar parte del comité?

N=7    r=3

7C₃ =7!/3!(7-3)!=35

b)      ¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar a tres personas de modo que Susana NO forme parte del comité?

N= 6    r=3

6C₃ =6!/3!(6-3)!= 20

c)       ¿De cuántas maneras distintas se puede seleccionar a tres de estas personas de modo que Susana sea una de las elegidas?

N=7    r=3

6C₂ .1C₁ = (15)(1)=15

Combinaciones

Una segunda regla de conteo que con frecuencia es de utilidad, permite contar la cantidad de resultados experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar r objetos entre un conjunto de n objetos(por lo común mas grande). Se llama regla de conteo para combinaciones.  El orden de los objetos seleccionados no es importante en el orden.

Regla de conteo para combinaciones

La cantidad de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es



La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5!=(5)(4)(3)(2)(1)=120. Por definición, 0! es igual a 1.

Problemas resueltos de Permutaciones

a) De cuántas maneras se puede seleccionar un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero entre un grupo de 10 personas .

La respuesta es P(10, 4) = 10!/(10 - 4)! = 5,040 ó bien 10 · 9 · 8 · 7 = 5,040 maneras diferentes.

b) ¿De cuántas formas puede formarse en una fila 7 mexicanos distintos y 5 gringos distintos si ninguna pareja de gringos puede estar junta?

Podemos formar a los mexicanos y a los gringos mediante un proceso de dos partes. Formando a los mexicanos y a los gringos. Los mexicanos pueden formarse de 7! = 5040 maneras. Una vez formados los mexicanos, como ninguna pareja de gringos puede estar junta, los gringos tienen 8 posiciones en las cuales formarse, es decir:

_ M₁ _ M₂ _ M₃ _ M4 _ M₅ _ M₆ _ M₇ _

Así los gringos pueden formarse de P(8, 5) = 6,720 maneras. Por la regla del producto tenemos que 5,040 · 6720 = 33'868,800 maneras diferentes de formarlos.

c) Se quieren colocar 3 pelotas de color rojo, azul y blanco en cajas numeradas con 1, 2, ... , 10. DEseamos conocer el número de maneras distintas en que las pelotas pueden ser colocadas en cajas, si cada caja es capaz de contener sólo una pelota.

Coloquemos las pelotas una a la vez, iniciando con la pelota roja, luego la azul y después la blanca. Puesto que la pelota roja puede colocarse en cualquiera de las 10 cajas, la azul en cualquiera de las 9 restantes y la blanca en cualquiera de las 8 restantes, el número total de maneras distintas de colocar estas pelotas es 10 · 9 · 8 = 720.

d) ¿De cuantas maneras pueden ser programados tres exámenes dentro de un periodo de 5 días, de modo que el mismo día no sean programados 2 exámenes?

Si consideramos que P(n, r) =(n)(n -1)(n - 2)...(n - r +1) = P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60 maneras distintas de programas los exámenes.

e) ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contienen la subcadena DEF?

Para garantizar la presencia del patrón DEF en la subcadena, estas 3 letras deben estar juntas y en ese orden. Las letras A, B y C pueden colocarse de manera arbitraria. Así es como tener 4 elementos diferentes, por lo que la respuesta es P(4, 4) = 4!.

f) ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contiene las letras DEF juntas, pero en cualquier orden?

Se puede resolver este problema en dos pasos. Primero se elige un ordenamiento para las letras DEF, es decir, se pueden tener P(3, 3) = 3! = 6 formas distintas de ordenar dischas letras, el segundo paso puede realizarse de de P(4, 4) = 4! = 24, ya que se considera cualquiera de las ordenaciones del primer paso como un elemento, más A, B y C. Y por la regla del producto la respuesta es 6 · 24 = 144, permutaciones de dichas letras.

 En una encuesta de ciencias políticas, se clasifica a los electores en seis categorías de ingreso y cinco categorías de educación. ¿De cuantas maneras distintas se puede clasificar a un elector?

6.5=30

Una cadena de tiendas de muebles tiene tres almacenes y veinte sucursales de venta al menudeo. ¿De cuantas maneras diferentes pueden embarcar un artículo de uno de los almacenes a una de las sucursales de minoreo?  

N=20 r=3

20P₃ =(20)(19)(18)=6840

Un representante de compras hace sus pedidos por teléfono, fax, correo o mensajería. Solicita que se confirmen sus pedidos sea por teléfono o por fax. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer y confirmar uno de sus pedidos? 

N=4  r=2

4P₂ =(4)(2)=8

Hay cinco rutas entre la casa de una ejecutiva y su sitio de trabajo.

A)     ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar?

B)      ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar si no quiere tomar la misma ruta de ida y vuelta?

C)      Si una de sus cinco rutas corre sobre una calle de un solo sentido, entonces ¿de cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar (suponiendo que quiera tomar la misma ruta de ida y vuelta)?

a)      N=5  r=5        5P₅ =5!=120

b)      N=5  r=2        5P₂ =(5)(4)=20

c)       N=5  r=4        5P₄ =5!/(5-4)!=120

En un paquete de óptica hay seis lentes cóncavos, cuatro lentes convexos, dos prismas y dos espejos. ¿De cuántas maneras distintas podemos seleccionar un lente cóncavo, un lente convexo, un prisma y un espejo de este paquete?

N=6 cóncavos, 4 convexos, 2 prismas y 2 espejos   r=1

(6)(4)(2)(2)P₁ =(6)(4)(2)(2)=96

En el consultorio de un doctor, hay ocho números recientes de Newsweek, seis números del New Yorker y cinco números del Reade´s Digest. ¿De cuántas maneras diferentes un paciente que espera para ver al doctor puede hojear una revista de cada editorial si el orden no tiene importancia?

N=8,6, 5   r=1

(8)(6)(5)P₁ =(8)(6)(5)=240

En unas vacaciones una persona querría visitar tres de diez Sitios históricos de Filadelfia. ¿De cuántas maneras distintas puede planear su viaje si el orden de las visitas tiene importancia?

N=10   r=3 

10P₃ =(10)(9)(8)=720

¿De cuántas maneras distintas se puede asignar a once representantes de servicio para cuatro nuevos clientes corporativos, suponiendo que a cada representante de servicio se le pueda asignar a lo sumo uno de los clientes corporativos?

N=11  r=4

11P₄ =11!/(11-4)!=7920

Un parque de diversiones tiene 28 recorridos distintos. ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede tomar cuatro de estos recorridos, suponiendo que el orden es importante y que esta persona no quiera tomar un recorrido más de una vez?

N=28   r=4

28P₄ =28!/(28-4)!=491400

Si en una carrera participan nueve caballos ¿De cuántas maneras distintas pueden terminar en primero, segundo y tercer lugar?

N=9   r=3

9P₃ =(9)(8)(7)=504

Permutaciones

Una permutación de objetos implica orden mientras que una combinación no toma el orden de los objetos considerados.

Definición:Dado un conjunto que contiene n elementos distintos X = {x₁, x₂, .... x_n}

a) Una permutación de X es una ordenación de los n elementos x₁, x₂, .... x_n

b) Una permutación–r (ó r-permutación) de X donde r n, es una ordenación de un subconjunto de r elementos de X.

c) El numero de permutaciones-r de un subconjunto de n elementos distintos se denota P(n, r)

d) Una combinación-r (r-combinación) es una selección no ordenada de r elementos de X, es decir, un subconjunto de r elementos de X.

e) El numero de combinaciones-r de un conjunto de n elementos distintos y se denota C(n, r) ó bien .

Ejemplo:Sea X = {a, b, c}
Algunas permutaciones de X son: abc, acb, bac
Algunas permutaciones-2 de X son: ab, ba, ca
Algunas combinaciones-2 de X son: {a, b}, {a, c}, {b, c}

Teorema:
El número de permutaciones-r de un conjunto de n objetos distintos es

P(n, r) =(n)(n -1)(n - 2)...(n - r +1)

La demostración es directa aplicando la regla b) del producto.

Por este teorema el número de permutaciones-2 de X = {a, b, c} es 6, las cuales son: ab, ac, ba, bc, ca, cb

También por este Teorema el número de permutaciones en un conjunto de n elementos es

P(n, n) = (n)(n -1)(n - 2)...(3)(2)(1) = n!

Observese que P(n, r)·(n - r)! = n!, por lo que

Problemas de Principio Fundamental de Conteo

Ejemplo ¿cuántos números de 5 cifras están formados únicamente de cuatros y doses (ejemplos:44242, 24422)? Nos están pidiendo números de cinco cifras, es decir nos piden llenar con doses y cuatros las cinco rayitas _ _ _ _ _ . En la primera rayita podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), en la segunda podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), lo mismo en la tercera, cuarta y quinta rayita. El principio de la multiplicación dice que el total es 2× 2 × 2× 2 × 2= 2⁵ = 32. Así la respuesta es que hay 32 números pedidos.

Ejemplo ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?
Como en el ejemplo anterior, tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _.En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación nos da un total de 7 × 8⁴ = 28672.

Ejemplo. Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?
Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.
Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3³ = 54.
Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3⁴ = 81 números de esta forma.
Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.

Ejemplo ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?
Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5. En total hay 9 ×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.
Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay formulas(basadas en esos principios) que nos permiten hacer los cálculos de manera más rápida. En las siguientes secciones estudiaremos las principales.

Principio fundamental de conteo

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

                 / tasa de chocolate
    / chocolate <
   /             \ cono de chocolate
  /
 /         / tasa de fresa
<-- fresa <
 \         \ cono de fresa
  \
   \            / tasa de vainilla
    \ vainilla <
                \ cono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.

             / tasa de chocolate
            / 
    / tasa <-- tasa de fresa
   /        \ 
  /          \ tasa de vainilla
 /              
<
 \              
  \          / cono de chocolate
   \        / 
    \ cono <-- cono de fresa
            \ 
             \ cono de vainilla
     

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.

Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados.

Problemas de Teoría de Conjuntos

Observa y analiza la solución de los siguientes problemas:

Teoría de conjuntos

INTRODUCCIÓN

Esta primera unidad inicia con el estudio de la teoría de conjuntos, el cual enfocado al ámbito laboral tiene el objetivo de optimizar procesos ya que con un buen análisis se puede detectar los trabajos y se pueden simplificar las operaciones realizadas de cualquier área laboral, pero del cual se requiere de buen análisis matemático para poder abstraer la realidad y ponerla en la forma de conjuntos

DESARROLLO DEL TEMA

La  Teoría de conjuntos:

Estudia las propiedades de los conjuntos (una colección de objetos considerada como un objeto en sí.)

La colección de objetos pueden ser cualquier cosa: persona, números, colores, letras, figuras, etc.

Casa uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, verde, Azul, Añil, Violeta}

Determinación de un conjunto

Extensión: Se usa mediante llaves que contienen todos su elementos de forma explicita

A = { a,e,i,o,u }

Comprensión: Se usa mediante una formula, regla o proposición que los describa

A = { x/x es una letra vocal}