Problemas resueltos de Permutaciones

a) De cuántas maneras se puede seleccionar un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero entre un grupo de 10 personas .

La respuesta es P(10, 4) = 10!/(10 - 4)! = 5,040 ó bien 10 · 9 · 8 · 7 = 5,040 maneras diferentes.

b) ¿De cuántas formas puede formarse en una fila 7 mexicanos distintos y 5 gringos distintos si ninguna pareja de gringos puede estar junta?

Podemos formar a los mexicanos y a los gringos mediante un proceso de dos partes. Formando a los mexicanos y a los gringos. Los mexicanos pueden formarse de 7! = 5040 maneras. Una vez formados los mexicanos, como ninguna pareja de gringos puede estar junta, los gringos tienen 8 posiciones en las cuales formarse, es decir:

_ M₁ _ M₂ _ M₃ _ M4 _ M₅ _ M₆ _ M₇ _

Así los gringos pueden formarse de P(8, 5) = 6,720 maneras. Por la regla del producto tenemos que 5,040 · 6720 = 33'868,800 maneras diferentes de formarlos.

c) Se quieren colocar 3 pelotas de color rojo, azul y blanco en cajas numeradas con 1, 2, ... , 10. DEseamos conocer el número de maneras distintas en que las pelotas pueden ser colocadas en cajas, si cada caja es capaz de contener sólo una pelota.

Coloquemos las pelotas una a la vez, iniciando con la pelota roja, luego la azul y después la blanca. Puesto que la pelota roja puede colocarse en cualquiera de las 10 cajas, la azul en cualquiera de las 9 restantes y la blanca en cualquiera de las 8 restantes, el número total de maneras distintas de colocar estas pelotas es 10 · 9 · 8 = 720.

d) ¿De cuantas maneras pueden ser programados tres exámenes dentro de un periodo de 5 días, de modo que el mismo día no sean programados 2 exámenes?

Si consideramos que P(n, r) =(n)(n -1)(n - 2)...(n - r +1) = P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60 maneras distintas de programas los exámenes.

e) ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contienen la subcadena DEF?

Para garantizar la presencia del patrón DEF en la subcadena, estas 3 letras deben estar juntas y en ese orden. Las letras A, B y C pueden colocarse de manera arbitraria. Así es como tener 4 elementos diferentes, por lo que la respuesta es P(4, 4) = 4!.

f) ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contiene las letras DEF juntas, pero en cualquier orden?

Se puede resolver este problema en dos pasos. Primero se elige un ordenamiento para las letras DEF, es decir, se pueden tener P(3, 3) = 3! = 6 formas distintas de ordenar dischas letras, el segundo paso puede realizarse de de P(4, 4) = 4! = 24, ya que se considera cualquiera de las ordenaciones del primer paso como un elemento, más A, B y C. Y por la regla del producto la respuesta es 6 · 24 = 144, permutaciones de dichas letras.

 En una encuesta de ciencias políticas, se clasifica a los electores en seis categorías de ingreso y cinco categorías de educación. ¿De cuantas maneras distintas se puede clasificar a un elector?

6.5=30

Una cadena de tiendas de muebles tiene tres almacenes y veinte sucursales de venta al menudeo. ¿De cuantas maneras diferentes pueden embarcar un artículo de uno de los almacenes a una de las sucursales de minoreo?  

N=20 r=3

20P₃ =(20)(19)(18)=6840

Un representante de compras hace sus pedidos por teléfono, fax, correo o mensajería. Solicita que se confirmen sus pedidos sea por teléfono o por fax. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer y confirmar uno de sus pedidos? 

N=4  r=2

4P₂ =(4)(2)=8

Hay cinco rutas entre la casa de una ejecutiva y su sitio de trabajo.

A)     ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar?

B)      ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar si no quiere tomar la misma ruta de ida y vuelta?

C)      Si una de sus cinco rutas corre sobre una calle de un solo sentido, entonces ¿de cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar (suponiendo que quiera tomar la misma ruta de ida y vuelta)?

a)      N=5  r=5        5P₅ =5!=120

b)      N=5  r=2        5P₂ =(5)(4)=20

c)       N=5  r=4        5P₄ =5!/(5-4)!=120

En un paquete de óptica hay seis lentes cóncavos, cuatro lentes convexos, dos prismas y dos espejos. ¿De cuántas maneras distintas podemos seleccionar un lente cóncavo, un lente convexo, un prisma y un espejo de este paquete?

N=6 cóncavos, 4 convexos, 2 prismas y 2 espejos   r=1

(6)(4)(2)(2)P₁ =(6)(4)(2)(2)=96

En el consultorio de un doctor, hay ocho números recientes de Newsweek, seis números del New Yorker y cinco números del Reade´s Digest. ¿De cuántas maneras diferentes un paciente que espera para ver al doctor puede hojear una revista de cada editorial si el orden no tiene importancia?

N=8,6, 5   r=1

(8)(6)(5)P₁ =(8)(6)(5)=240

En unas vacaciones una persona querría visitar tres de diez Sitios históricos de Filadelfia. ¿De cuántas maneras distintas puede planear su viaje si el orden de las visitas tiene importancia?

N=10   r=3 

10P₃ =(10)(9)(8)=720

¿De cuántas maneras distintas se puede asignar a once representantes de servicio para cuatro nuevos clientes corporativos, suponiendo que a cada representante de servicio se le pueda asignar a lo sumo uno de los clientes corporativos?

N=11  r=4

11P₄ =11!/(11-4)!=7920

Un parque de diversiones tiene 28 recorridos distintos. ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede tomar cuatro de estos recorridos, suponiendo que el orden es importante y que esta persona no quiera tomar un recorrido más de una vez?

N=28   r=4

28P₄ =28!/(28-4)!=491400

Si en una carrera participan nueve caballos ¿De cuántas maneras distintas pueden terminar en primero, segundo y tercer lugar?

N=9   r=3

9P₃ =(9)(8)(7)=504