PROBABILIDAD Y ESTADISTICA: mayo 2014

Problemas de Distribución Binomial

Ejercicio 1

Problemas resueltos distribución binomial.

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Distribución binomial

Ejemplos de Probabilidad de variables aleatorias discretas

1.- Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

x	p _i	x · p _i	x²· p_i
2	1/36	2/36	4/36
3	2/36	6/36	18/36
4	3/36	12/36	48/36
5	4 /36	20/3 6	100/36
6	5/36	30/36	180/36
7	6/36	42/36	294/36
8	5/36	40/36	320/36
9	4 /36	36/36	324/36
10	3/36	30/36	300/36
11	2/36	22/36	242/36
12	1/36	12/36	144/36
		7	54.83

2.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos
cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde
tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función
de probabilidad y la esperanza matemática del juego

x	p _i	x· p _i
+100		100/6
+ 200		200/6
+ 300		300/6
- 400		-400/6
+ 500		500/6
-600		- 600/6
		100/6

µ =16.667

3.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar
de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y
0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

Distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas

Variable aleatoria discreta, que produce como resultado un número finito de valores predeterminados, por lo que su recorrido es finito.

Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1.

En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

Problemas de Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Ejercicios Probabilidad Condicional

Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

La primera semilla sea roja?
La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por

, y se lee: la probabilidad de B₂ dado R₁.
Esta probabilidad

, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.

Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y

De donde

Nótese que

es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,

Como los eventos (BÇ A) y (BÇ A^C) son mutuamente exclusivos y su unión es B, entonces por el axioma 3, tenemos:

[3.3]
Despejando P(AÇ B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(AÇ B) = P(A) P(B/A) y P(A^C^ÇB) = P(A^C) P (B/A^C)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(A^C) P (B/A^C).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(AÇ B) y P(A^C) P(B/A^C) = P(A^C^ÇB)

Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A^C el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(A^C) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/A^C) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:

Probabilidad Condicional

Ejercicios Probabilidad "Regla de la Multiplicación"

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene

items de los cuales

son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento $A_{1}\cap A_{2}$ que es la intersección entre los eventos $A_{1}$ y $A_{2}$ . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

Ejemplo 2 La probabilidad de que la batería de un automóvil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor reciba una corriente de carga mayor que la normal, es

. La probabilidad de que la batería quede expuesta a altas temperaturas es

. ¿ Cúal es probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta?

Solución

Sean

: el evento donde la batería experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y

: el evento donde la batería está expuesta a altas temperaturas.

el evento condicional, la batería de un automóvil que esta sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor recibe una corriente de carga mayor que la normal

De la información dada se tiene:

Luego, la probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta, $P(A\cap B)$ es :

Ejemplo 3

El $5\QTR{group}{\%}$ de la población de una ciudad sufre de presión sanguínea alta. De la población con presión sanguínea alta el $75\QTR{group}{\%}$ toman licor mientras que solamente el $50\QTR{group}{\%}$ que no sufren de presión sanguínea alta lo toman. Calcule el porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta.